LES NOMBRES PREMIERS :

L'équation de Mersennes modifiée :

L'équation 2^nbpi - 2 = a * nbpi :

Cette équation semble intéressante car elle offre un test de plus, si elle demeure bonne, pour déterminer si un nombre est premier ou non.
Tout le problème est de montrer pourquoi elle fonctionne ainsi. Quelques petits exemples pour la comprendre :

			2^2 - 2 =  2 * 1
			2^3 - 2 =  2 * 3
			2^4 - 2 =  3,5
			2^5 - 2 =  2 * 3 * 5
			2^6 - 2 =  10,333333
			2^7 - 2 =  2 * 3 * 3 * 7
			2^9 - 2 =  56,88888
			2^10 - 2 = 102,2
			2^11 - 2 = 2 * 3 * 31 * 11

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Travail sur l'équation 2^nbpi - 2 = a * nbpi :

2^nbpi - 2 = 2 * ( 2^(nbpi-1) - 1 ) = %1...10 (le nombre de un étant égal à nbpi-1 ; % signifiant notation binaire)

	%10 		est divisible par 		2 =  %10
	%110 		est divisible par 		3 =  %11
	%1110 		n'est pas  divisible par 	4 =  %100
	%11110 		est divisible par 		5 =  %101
	%111110		n'est pas  divisible par 	6 =  %110
	%1111110 	est divisible par 		7 =  %111
	%11111110	n'est pas divisible par 	8 =  %1000
	%111111110	n'est pas divisible par 	9 =  %1001
	%1111111110	n'est pas divisible par 	10 = %1010
	%11111111110	est pas divisible par 		11 = %1011
	%111111111110	n'est pas divisible par 	12 = %1100
	%1111111111110	est pas divisible par 		13 = %1101

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Essayer :

L 'EQUATION 2^x - 2

L'équation de Mersennes modifiée :

Explication et démonstration :

Dans le "que sais-je" n°571 écrit par E. Borel p53 vous trouverez tout sur cette équation résumée par le théorème de Fermat : " Soit p un nombre premier quelconque et a un entier non divisible par p. La différence a^(p-1) - 1 est divisible par p. On peut dire également que a^p - a est divisible par p.
Cela date du XVII eme siècle ! Un autre nom s'est associé à cette équation, c'est Wilson. Voilà tout est dit ou à lire, il reste que cette équation, à cause de son opération à la puissance, n'est pas tellement opérationnelle pour trouver de nouveaux nombres premiers.
On peut aussi s'amuser à faire un test pour débusquer les nombres jumeaux premiers :
si ((2^j - 2)/j) - 3 est divisible par (j - 2) alors (j - 2) et j sont jumeaux et premiers !
je vous livre le petit programme java qu'on peut écrire :

import java.lang.*;
import java.io.*;

public class Nbpj {


  	public static void main(String[] args) {
	double j,i;
	for (j=3;j<64;j++){

		//i= (Math.pow(2,j)-2)%j;
		i= (((Math.pow(2,j)-2)/j)-3)%(j-2);
		if (i==0)  System.out.println("NBPj : "+(j-2)+"   "+j);
	}
	

	}
}

x =< 53:
2^x - 2 :
2^x - 2 / x :
2^x - 2 % x :		Tixier Philippe Mai 2000