LES NOMBRES PREMIERS :

LA SUITE DES PUISSANCES DANS N :

DE LA DECOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS DES NOMBRES A LA FORMULATION DE L'APPARITION DE CES FACTEURS PREMIERS

abstract :
En partant de nombres définis en base primale (base multiplicative utilisant la suite des nombres premiers), on dresse le tableau des nombres entiers. Il sera alors montré que l'apparition des puissances des nombres premiers tout au long de cette table répond à processus récursif lié à des conditions initiales (c'est donc une forme de chaos qui se découvre encore une fois ! )

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Introduction :

i) un nombre possède une décomposition unique en facteurs premiers.

ii) on définit un base primale (cf. tixier 1998) en s'intéressant aux puissances des nombres premiers (NbPi) dont les factorisations définissent ces nombres. Exemple : 3 = '10, car 3 = 3^1 x 2^0.

iii) On peut donc dresser la table des premiers nombres entiers de N exprimés en base primale :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 	2
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	3
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	4
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	5	
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	6
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0	7
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	8
0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 	9
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	10
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 	11
2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 	12	
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 	13
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0	14
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	15	

...
CF. tixier 1998 pour explication, modélisation et applications de cette table

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Problème :
Ayant déjà travaillé sur cette table, spécialement au niveau de l'apparition fractale des zéros, ici je me pose le problème du processus engendrant les nombres de cette table. Ce problème est plus complexe, me semble-t-il, car il ne traite pas que du même nombre.
Résolution :
Prenons pour raisonner la colonne du Nbp 2 :
0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0....
La première observation : c'est qu'il y a beaucoup de ZEROs ! Il semblent jouer le rôle de séparateurs donc on peut les enlever sans perdre en information, puisqu'on saura le moment venu les remettre où il faut.
Cela donne :

1 2 1 3 1 2 1 4 1
La première observation : c'est qu'il y a beaucoup de UNs ! Il semblent jouer le rôle de séparateurs donc on peut les enlever sans perdre en information, puisqu'on saura le moment venu les remettre où il faut.
Cela donne :

2 3 2 4
La première observation : c'est qu'il y a beaucoup de DEUX !
La deuxième c'est qu'on va vite vérifier dans la table si en ligne 20 on trouve bien 2 pour la première colonne, ce qui est exacte. Cette suite est donc complétable : 2 3 2 4 2 Il semblent jouer le rôle de séparateurs donc on peut les enlever sans perdre en information, puisqu'on saura le moment venu les remettre où il faut.
Cela donne :

3 4
La question est : Y a t-il un TROIS après ce 4 ?
La réponse se trouve à la ligne 24 et est positive, la suite est bien : 3 4 3
du coup :
La première observation : c'est qu'il y a beaucoup de TROIs ! Il semblent jouer le rôle de séparateurs donc on peut les enlever sans perdre en information, puisqu'on saura le moment venu les remettre où il faut.
Cela donne :

4
Nous sommes arrivés à la fin d'un processus récursif qui nous amène au nombre QUATRE qui est représentatif de la colonne du NbP 2 de la table de codage en base primale des entiers de N ! ouf! mais soyons précis ! C'est formidable car ce nombre est représentatif de l'information contenue dans 32 lignes, donc de 32 nombres décimaux, donc il y a une compression de 1/32 (2x16=2x 2^4).
A condition que l'on possède le processus récursif inverse !

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Le procédé récursif inverse :

Il existe et il a besoin de deux informations pour ce faire :
j) numéro de la colonne
; qui va qualifier la répétition des motifs numériques pendant la récursion.
jj) nombre représentatif de cette colonne ; qui va donner le nombre de départ.. exemple : Prenons 5 représentatif de la colonne du NbP 3 (donc la deuxième colonne de la table)

5
Appliquons ce procédé inverse qui consiste à entouré de séparateur ce nombre, mais comme on est en colonne 2 les séparateur serons doublés, cela donne :
4 4 5 4 4
Puis on continue :
3 3 4 3 3 4 3 3 5 3 3 4 3 3 4 3 3
Vous avez compris ?
alors on continue :
2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 3 2 2 3 2 2 5 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 3 2 2 3 2 2
Vivement l'ordinateur !
1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 2 4 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 4 ...
Si on raisonne que sur le début, cela donne :

0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 10 0 10 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 ....
Vous pouvez vérifiez vous même que le début est conforme à la colonne 2 représentative du NbP 3. Si l'on a du courage (ce que j'ai eu !) on arrive à générer grâce à ce nombre au moins 81 lignes de cette colonne ! donc on a une compression de 1:81 si mes calcul sont justes ! ce qu'il conviendrait de vérifier. En fait, il doit y avoir un problème car théoriquement on peut avec 5 pour la colonne du Nbp3 produire 2x3^5 . Quoiqu'il en soit ça compresse dur et de plus en plus dur que l'on s'intéresse à une colonne représentative d'un NbPi grand.

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Applications :

Cette question est redoutable, mais essayons d'introduire le sujet :
i) compression : surement, on peut choisir ses taux de compression suivant les nombres choisis et les colonnes à décompresser.
ii)compresssion tooujours, car avec la table primale on peut engendrer les réels (cf. tixier 98), on peut aussi en changeant les condition initiales de cette table engendrer d'autres suites de nombres, puis les compresser.
iii)application pédagogique, enseigner le simple est toujours moins compliqué qu'enseigner le compliqué.
iiii) On pense qu'il y a de l'ondelette là dedans !

Annexe 1 :

voici le texte d'un banal prg basic programmé trivialement !

REM pg philippe tixier 1998
CLS
PRINT "Le sens mˆme de l'humanit‚ repose sur le fil le plus fragile de l'univers : l'espoir : Matthieu; Tixier"
PRINT "L'art est du sens sur les sentiments"

PRINT "La math‚matique est du sens sur le raisonnement : Phil Tixier"
PRINT "L'homme qui ne croit pas ce qu'il dit est moins qu'une chose. KANT "
PRINT : PRINT

c2 = 0

FOR i = 2 TO 19 * 19
c2 = 0
c3 = 0
c5 = 0
c7 = 0
c11 = 0
c13 = 0
c17 = 0
c19 = 0

t = i
        DO WHILE (t MOD 2 = 0)
                c2 = c2 + 1
                t = t / 2
        LOOP
t = i
        DO WHILE (t MOD 3 = 0)
                c3 = c3 + 1
                t = t / 3
        LOOP

t = i
        DO WHILE (t MOD 5 = 0)
                c5 = c5 + 1
                t = t / 5
        LOOP

t = i
        DO WHILE (t MOD 7 = 0)
                c7 = c7 + 1
                t = t / 7
        LOOP
t = i
        DO WHILE (t MOD 11 = 0)
                c11 = c11 + 1
                t = t / 11
        LOOP
t = i
        DO WHILE (t MOD 13 = 0)
                c13 = c13 + 1
                t = t / 13
        LOOP
t = i
        DO WHILE (t MOD 17 = 0)
                c17 = c17 + 1
                t = t / 17
        LOOP
t = i
        DO WHILE (t MOD 19 = 0)
                c19 = c19 + 1
                t = t / 19
        LOOP

PRINT " "; i; " "; c2; c3; c5; c7; c11; c13; c17; c19


NEXT i

Ce programme fournit une petite table qui permet de suivre cet exposé.


						merci de cette lecture